Par rapport à l'existence des mathématiques, deux opinions contradictoires existent :
- Les mathématiques ne peuvent qu'exister, quel que soit l'univers, à 1, 2 ou 47 dimensions d'espace et de temps, et même au milieu de rien, elles existent, car ce ne sont que des réflexions abstraites sur des hypothèses données, qui sont toujours vraies, dans la géométrie euclidienne, toute somme des trois angles d'un triangle donne 180°, même si le triangle n'existe pas dans le monde où on la considère. Cette opinion déclare que un théorème, s'il est vérifié dans les hypothèses données, existe, peu importe que nous le connaissions. Translatée du monde des idées à celui de la matière, cette opinion déclare que si des extraterrestres vivent dans cet univers, même si ne nous les avons jamais vu, alors ils existent
Les mathématiques sont un cheminement de l'esprit, et dépendent de cet esprit. Je peux considérer qu'ils existent dans mon esprit, car la suite des théorèmes qui composent les mathématiques sont logiquement vrai. Cependant, rien ne prouve qu'ils existent hors du cheminement de mon esprit.
Par exemple : le fait de compter deux choses demande qu'un esprit humain ait la capacité de concevoir ces deux choses, et de faire un lien entre elles. Quand je parle de
ces deux pommes
, cela signifie que j'ai conçu des objects distincts, que j'ai trouvé un point commun entre elles (le fait que ce soit des pommes), et que j'ai restreint mon observation, par exemple à mon champs de vision. Si l'on admet la physique et l'existence des atomes, on aurait tout aussi bien pu dire qu'il n'y a pas deux pommes, mais des atomes, aussi bien ceux des pommes que ceux qui l'entourent.De même, le triangle dont la somme des angles est 180° est une création de mon esprit : j'ai décidé de nommer triangle une pensée qui a trois côté et dont la somme des angles est 180°. Bien sûr, ces propriétés sont liées (l'une entraine l'autre), car nous sommes dans la géométrie euclidienne, géométrie qui est une façon de concevoir les objets mathématiques que j'ai aussi défini moi-même. Je pourrai, si je le voulais, inventer une goéométrie dans laquelle la somme des angles d'un triangle n'a pas 180° (d'autres l'ont fait).
Le fait que la géométrie euclidienne ressemble (ou plutôt est une représentation parfaite, au sens que les objets sont représentés comme s'ils étaient parfaits) au monde que je ressens donne l'impression qu'il s'agit d'une vérité universelle. Mais rien ne prouve qu'un autre esprit pourrait faire le même résonnement. Pour cette hypothèse, les mathématiques n'existent dans le monde que parce qu'ils existent dans mon esprit, en considérant mon esprit comme inclu dans le monde.